研究集合{a , a ，…,a }的子集个数
黄 杰
指导思想：突出学生的主体地位，努力引导学生通过自我探究体验发现问题，提出问题，分析问题到解决问题的全过程。
教学目标：培养学生掌握学习方法和发展学生的创造性思维。
教学重点：引导学生观察、归纳猜想、自主创新。
教学难点：得出问题的结论。
授课班级：高一（1）班
教学过程：
1、导入：教师举一个现实生活中常见的例子，创设问题背景，引出课题
如何求集合中子集的个数。
2、举课本里的例子：写出集合{a,b}的所有子集。
学生练习，教师巡视，叫一学生板演。
提问：这是一种什么方法？答案是否完整？
解释：子集的定义以及子集的3种情况：(1)、空集；(2)、部分元素构成的集合；(3)、全部元素组成的集合（即它本身）。向学生说明本题是这样进行的：先写空集Ø，再写一元子集{a},{b},最后写二元子集{a,b}。（做到不重复、不遗漏）
这样，我们在求集合子集时，并非先找后验，而是直接写出这些子集。这意味着，从概念出发演绎了一条法则，在解题时，要使这条法则明确化。
这个法则就是列举法。
进而，教师再说明，求子集用列举法：一排序，二分类，三穷举。
3、例2：写出集合{a,b,c}的所有子集。
学生练习。按照上述的列举法，学生迅速作出解答。
{a,b,c}的子集分四类：
第一类，空集Ø；
第二类，一元子集{a},{b},{c};
第三类，二元子集{a,b},{b,c},{c,a};
第四类，三元子集{a,b,c}.
学生做完后，教师又提问：“大家看看并回答：（1）在{a,b,c}的子集中，有几个是{a,b}的子集？（2）如何利用{a,b}的子集求{a,b,c}的子集？”留充足的时间给学生探究，适时引导。
4、教师在巡视的过程中，看到学生的有趣发现：第一，在{a,b,c}的所
有子集中，有四个是{a,b}的子集，即Ø，{a},{b},{a,b},它们都不含第三个元素c;第二，{a,b,c}的另外四个子集，恰好是在{a,b}的4个子集中，分别添上第三个元素c而得到。
教师：同学们发现的是一条递推规律，即对有关自然数问题，由1到2，由2到3，…，由n到n+1的互推规律，利用这条规律，我们从{a,b,c}的子集出发，能迅速地推出{a,b,c}的所有子集。我们做题的目的在于：完成一个，弄通一片。
递推规律是一条进退规律：由低进到高（较复杂）
由高退到低（较容易）
提问：由3退2，即用{a,b,c}的子集求{a,b}的子集，如何做？
由2退1，即用{a,b}的子集求{a}的子集？
弄清楚了退，也就弄清楚了进。
5、由上面的过程，提出本节课要解决的问题：研究n元集合
Hn={a1 ,a2,…,an}的子集个数hn问题。
教师引导学生大胆猜想，敢于探究。
一元集合H1={a }的子集个数为h =2；
二元集合H2={a ,a }的子集个数为h =2h =2 2；
三元集合H3={a ,a ,a 3}的子集个数为 h3=2h =2 3；
……
n元集合Hn={a 1 ,a 2 ,…a n }的子集个数为
h n =2hn-1=2 n 。
从而得出结论：n元集合的子集个数为2 n.
6、.趁热打铁，再提子集分类的计数问题：H 2 的子集分三类，子集个数分别为1，2，1；H 3 的子集分为四类，子集的个数分别为1，3，3，1，问学生是否见过这样的数目？
讨论：{a 1,a 2,a 3}的子集数与（X+Y） 3展开式的系数和，有何关系？
先介绍一个表
n | Ø，{a 1,a 2,…，a n} | （X+Y） n展开式 | 计算法 |
1 | Ø，{a 1} | X+Y | 1+1 |
2 | Ø，{ a 1};{ a 2};{ a 1,a 2} | X 2+2XY+Y 2 | 1+2+1 |
3 | Ø,{ a 1},{ a 2},{ a 3},{ a 1,a 2}, { a 2, a 3},{ a 3, a 1}, { a 1, a 2, a 3} | X 3+3X 2Y+3XY 2+Y 3 | 1 |
发现规律，子集个数即为二项展开式的系数和。
取X=Y=1，得 2=2 1=1+1
4=2 2=1+2+1
8=2 3=1+3+3+1；…
最终推得：子集个数即为展开式系数和2 n
教师：同学们，一个曲折的探索过程比一个完整的结果要重要十倍。在以后的学习中，我们要大胆探索，发现新问题，解决新问题。
7、布置思考题：我校举行第一届体艺文化节，要把操场分成若干块，问用10条直线至多把操场分成多少块？如果n条直线，结论又如何？
减小字体
增大字体
