§1．8　 充分条件与必要条件·基础练习

(一)选择题

1．设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的

[　　　 ]

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．b＝c＝0是抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点的

[　　　 ]

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的

[　　　 ]

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．x∈R，(1－|x|)(1＋x)是正数的充分必要条件是

[　　　 ]

A．|x|＜1　 　　　　　　　　　　　　　　　 B．x＜1

C．x＜－1　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x＜1且x≠－1

5．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是

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A．a、b、c都不是零

B．a、b、c中至多有一个是零

C．a、b、c中只有一个是零

D．a、b、c中至少有一个不是零

6．下列说法正确的是

[　　　 ]

A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件

B．x≠±1是|x|≠1的充要条件

C．若 ，则p是q的充分条件

D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形

(二)填空题

1．用符号“ ”与“ ”填空．

(1)x＋y＝7________x2－y2－6x＋8y＝7

(2)ab＝0________a＝0

2．ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负的实根的充要条件是________．

3．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的________条件．

4．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是________．</PGN0051B.TXT/PGN>

(三)解答题

1．指出下列各组命题中p是q的什么条件？

(1)p：m为有理数　　　　　　　　　　 q：m为实数

(2)p：x2－1＝0　　　　　　　　　　　　 q：x－1＝0

(3)p：内错角相等　　　　　　　　　　 q：两直线平行

(4)p：四边相等　　　　　　　　　　　　 q：四边形为正方形

(5)q：a≠0　　　　　　　　　　　　　　　　 p：ab≠0

(6)p：a、b都不为零　　　　　　　 q：a、b不都为零

3．关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实根的充要条件是什么？为什么？

参考答案

(一)选择题

2．A

C，故选B．

4．D(提示：解不等式(1－|x|(1＋x)＞0得x＜1且x≠－1)

5．A

6．B

(二)填空题

＋8y=x＋y=7)

4a=0，a=1，此时x=－1＜0．∴a=0或1．

3．必要而不充分

(三)解答题

1．(1)p是q的充分而不必要条件．

(2)p是q的必要而不充分条件．

(3)p与q互为充要条件．

(4)p是q的必要而不充分条件．

(5)p是q的必要而不充分条件．

(6)p是q的充分而不必要条件．

2．证明：(此题是二次不等式的开方解法)

3．解：关于x的实系数的一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个异号实根的充要条件是ac＜0．证明：(1)充分性：∵ac＜0，∴－4ac＞0，∴Δ=b2－4ac＞0，∴设x1，x2为原方程的两个不等实根，又

x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个异号实根的充分条件．(2)必要性；设x1，x2是关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两

元二次方程ax2＋bx＋c=0有两个异号实根的必要条件．综合(1)(2)可得原结论成立．