§1．7　 四种命题·基础练习

(一)选择题

1．命题“a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是

[　　　 ]

A．a、b都不是奇数，则a＋b是偶数

B．a＋b是偶数，则a、b都是奇数

C．a＋b不是偶数，则a、b都不是奇数

D．a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数

2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为

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A．4个
 B．3个
 
C．2个
 D．0个
 

3．对以下四个命题判断正确的是

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(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数被5整除．

(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这自然数末位数字为零．

(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．

(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．

A．(1)与(3)为真，(2)与(4)为假

B．(1)与(2)为真，(3)与(4)为假

C．(1)与(4)为真，(2)与(3)为假

D．(1)与(4)为假，(2)与(3)为真

4．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是

[　　　 ]

A．若A∪B≠A，则A∩B≠B

B．若A∩B＝B，则A∪B=A

C．若A∩B≠A，则A∪B≠B

D．若A∪B＝B，则A∩B＝A

5．下列说法

(1)四种命题中真命题的个数一定是偶数．

(2)若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．

(3)逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．

(4)若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．

其中正确的有________个．

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A．1个
 B．2个
 
C．3个
 D．4个
 

6．下列命题

(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题．

(2)“正三角形的三个角均为60°”的否命题．

(3)“若k＜0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实根”的逆否命题．

(4)“若ac2≥bc2，则a≥b”的逆命题．其中真命题是

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A．(1)(2)(4)
 B．(2)(3)(4)
 
C．(2)(3)
 D．(2)(4)
 

7．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是

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A．a、b都能被5整除

B．a、b都不能被5整除

C．a、b不都能被5整除

D．a不能被5整除，或b不能被5整除

8．反证法的证明过程中，假设的内容是

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A．原命题的否命题

B．原命题的逆命题

C．原命题的逆否命题

D．原命题结论的否定

(二)填空题

1．若命题p的逆命题是q，命题r是命题q的否命题，则q是r的________命题．

2．命题“若x，y是奇数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是________，它是________命题(填“真”、“假”)．

3．(x－1)(x＋2)=0的否定形式是________．

4．x≠±1的否定形式是________．

5．“已知 a、b、c是实数，如果不等式ax2＋bx＋c≤0的解集非空，那么b2－4ac≤0”这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有________个假命题．

(三)解答题

1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)两条平行线不相交

(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形

(3)若x≥10，则2x＋1＞20

2．判断下列命题的真假

(1)“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的否命题．

(2)“若ac＝bc，则a＝b”的逆命题．

3．用反证法证明：一个三角形中，不能有两个钝角或直角．

*4．已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3=0，x2＋(a－1)x＋a2=0，x2＋2ax－2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围(提示：用反证法的思想去求解)

参考答案

(一)选择题

1．D

2．C(提示：原命题为假命题，当C=0时不成立，故逆否命题也为假命题；逆命题与否命题都是真命题；另外四种命题中真命题与假命题的个数只能是0，2，4，不可能是3个，故选C．

3．C

4．A(注意：“A∪B=A”的否定是“A∪B≠A”而不是“A∩B≠A”

5．C

6．B(注：判断否命题的真假可通过判断逆命题的真假来判断．)

7．B

8．D

(二)填空题

1．逆否．

2．若x＋y不是偶数，则x是奇数或y是奇数(x∈Z，y∈Z；真．

3．x≠1且x≠－2

4．x=1或x=－1

5．4(提示：首先只要判断原命题与逆命题的真假即可，另外注意a的正负不定，因此四个命题全是假命题．)

(三)解答题

1．(1)逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，为真命题．

否命题：若两条直线不平行，则它们相交为真命题．

逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行为真命题．

(2)逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题．

否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题．

逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题．

(3)逆命题：若2x＋1＞20，则x≥10，为假命题．

否命题：若x＜10，则2x＋1≤20，为假命题．

逆否命题：若2x＋1≤20，则x＜10，为假命题．

2．(1)真命题(提示：它的否命题为“若a、b都不为零，则ab≠0．” (2)真命题．

3．证明：假设△ABC中，有两个钝角或直角，不妨设∠A≥90°，∠B≥90°，则∠A＋∠B≥180°，又∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠C≤0°，这与∠C是△ABC的内角矛盾，故假设错误，所以，一个三角形中，不能有两个钝角或直角．

4．先求使三个方程都没有实根的实数a的取值范围：

解集：－1＜a＜0，∴所求实数a的取值范围是：a≤－1或a≥0