天津市第四十二中学 张鼎言

2. 如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3，0)，右准线l的方程为x=12。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P1、P2、P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，证明：-+-+-为定值，并求此定值。

解：(1)-=12，c=3，a2=36，b2=27，

∴-+-=1

分析：(2)本问给出的是“角”，这就需要“转化”，用“角”的三角函数表示距离。

设|FP1|与x轴正方向夹角为α，0α<-

P1到l的距离应为：

--c-|FP1|cosα

∴由椭圆第二定义

|FP1|=e(--c-|FP1|cosα)

这里e=-·|FP1|

=-(9-|FP1|cosα)

∴-=-(2+cosα)

同理-=-[2+cos(α+-)]

-=-[2+cos(α+-)]

∴-+-+-=-[6+cosα+cos(α+-)+cos(α+-)]

而cosα+cos(α+-)+cos(α+-)=0

∴-+-+-=-

注：本题(2)是在椭圆第二定义基础上的变化，这种变化是以直角三角函数的综合来呈现，但问题的关键是推导目标需要求出|FPi|，i=1，2，3。

3. 已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且-=λ-(λ>0)。过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

(Ⅰ)证明-·■为定值；

(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值。

解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ>0。

设A(x1，-x12)，B(x2，-x22)。由-=λ-，λ>0。

-

-

-

过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

-

解出交点M的坐标为(-，-)，M(-，-1)

-·■=-(x22-x12)-2(-x22--x12)=0

所以-·■为定值，其值为0，|-|⊥|-|。

(Ⅱ)由抛物线的定义：

|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+-+2=(-+-)2

|FM|⊥|AB|，S=-|AB||FM|.

|FM|=-

=-

=-

=-

=-+-

S=-|AB||FM|=-(-+-)34，

当且仅当-=-，λ=1时，S取得最小值4。

4. 已知椭圆C1：-+-=1，抛物线C2：(y-m)2=2px(p>0)，且C1，C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。

(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求m，p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在m，p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m，p的值；若不存在，请说明理由。

解：(Ⅰ)C1的右焦点F2(1，0)，当AB⊥x轴时，

由C1方程A(1，-)，又A、B关于x轴对称，

所以m=0，A(1，-)在C2上，可知C2的焦点(-，0)不在直线AB上。

(Ⅱ)解法一：LAB -=k

设A(x1，y1)、B(x2，y2)在C1上，

由-

(1)-(2)：-+-k=0 (A)

上面的方法给我们一个重要的启示，LAB与C1相交时不是用联立方程组化为一元二次方程，求出△，x1+x2，x1x2等过渡量。理由是后面的推导不需要x1x2。